Kurs obejmuje zagadnienia związane z budową modeli trendu wielomianowego i prognozowania z jego użyciem. Użytkownik zapozna się z procedurą ustalania stopnia trendu oraz wyznaczaniem prognoz i analizą błędów prognoz. Dowie się jak krok po kroku budować model trendu wielomianowego a następnie wyznaczać prognozy i analizować ich błędy.

Kurs zawiera następujące elementy:

Ogólne informacje na temat modeli trendu wielomianowego.
Procedura ustalania stopnia trendu.
- Test t-Studenta na istotność parametrów.
- Test F na spadek wariancji.
Wyznaczanie prognoz na podstawie modeli trendu wielomianowego.
- Obliczanie prognoz.
- Błąd ex-ante.
- Błąd ex-post.

Numer kursu: 21g.
Koszt przelewu: 5 PLN.
Lektor: nie.
Słowa kluczowe: trend, model trendu wielomianowego, prognoza, błąd prognozy, ex-post, ex-ante, model ekonometryczny, ekonometria, model liniowy, gretl, kmnk, metoda najmniejszych kwadratów, estymacja, parametry.

Ogólne informacje na temat modeli trendu wielomianowego

Ogólna postać modelu trendu wielomianowego ma postać

$Y_t=\alpha_{0}+\alpha_{1}t+\alpha_{2}t^2+\ldots\alpha_{k}t^k+\epsilon,$

gdzie

$Y_t$ – proces opisujący zjawisko, w naszym przypadku ekonomiczne,

$t$ – zmienna czasowa,

$\epsilon$ – składnik losowy.

Stopniem wielomianu trendu nazywamy liczbę $k$ (najwyższa potęga, w której występuje zmienna $t$ ).

Model trendu wielomianowego szacowany jest za pomocą estymatora według metody najmniejszych kwadratów, który ma postać

$a=(X'X)^{-1}X'y,$

gdzie

$a$ – wektora oszacowanych parametrów $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ,

$y$ – wektor obserwacji na zmiennej $Y$ ,

$X$ – macierz obserwacji na zmiennych objasniających.

W ogólnym przypadku

$y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}$

$X=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 2 & 4 & \cdots & 2^k\\ 3 & 9 & \cdots & 3^k\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n^2 & \cdots & n^k\\ \end{bmatrix}$

Głównym problemem przy budowie modelu jest ustalenie stopnia trendu, czyli wyznaczenie liczby $k$ .

Proces ustalania stopnia trendu przebiega zgodnie z procedurą:

Szacujemy model trendu liniowego, jeżeli wystąpi trend liniowy przechodzimy do 2.
Szacujemy model trendu kwadratowego, jeżeli nie występuję trend kwadratowy, to występuje trend liniowy, jeżeli występuje trend kwadratowy przechodzimy do 3.
Szacujemy model trendu sześciennego itd.

Procedura w pewnym momencie się kończy. Ostatnio zaakceptowany model trendu jest tym najlepszym.

Bardziej szczegółowo procedurę omówimy w kolejnej części.

Procedurę ustalania stopnia trendu wielomianowego przeprowadzimy na następujących danych:

$\begin{array}{|c|c|} \hline Rok & y_{t} \\ \hline\hline 2000& 107\\ 2001& 101\\ 2002& 115\\ 2003& 130\\ 2004& 148\\ 2005& 163\\ 2006& 198\\ 2007& 251\\ 2008& 258\\ 2009& 307\\ \hline \end{array}$

Dane należy wprowadzić do programu Gretl (jak to zrobić można dowiedzieć się w Kursie obsługi programu Gretl).

Dla przyśpieszenia pracy pobieramy plik trend.gdt i otwieramy bezpośrednio w programie Gretl.

Procedura ustalania stopnia trendu

Budujemy model trendu liniowego

$Y_t=\alpha_{0}+\alpha_{1}t+\epsilon$

W tym celu w programie dodajemy zmienną czasową Dodawanie zmiennych/time – zmienna czasowa t

zmiennatime

Na liście zmiennych pojawia się zmienna time.

time

Tworzymy model używając Model/Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów…

kmnk

Pojawia się okno specyfikacji modelu.

spec0

Przy pomocy przycisków koloru granatowego i zielonego przerzucamy zmienne ze strony lewej na prawą.

Gretl stosuje następujące nazewnictwo zmiennych:

zmienna zależna – inaczej nazywana objaśnianą albo endogeniczną,
regresory – zmienne niezależne, objaśniające, egzogeniczne.

W naszym przypadku za pomocą przycisku koloru granatowego przerzucamy zmienną $y_t$ a za pomocą przycisku zielonego zmienną $time$ .

specyfikacja

Oszacowany model pojawia się w nowym oknie.

model1

Przechodzimy do zapisania najważniejszych informacji o modelu. Poszczególne parametry oznaczono różnymi kolorami na obrazku wyżej.

Odczytujemy parametry

$a_0=51,20$ – ramka czerwona

$a_1=23,03$ – ramka czerwona

$S(a_0)=14,14$ – ramka pomarańczowa

$S(a_1)=2,29$ – ramka pomarańczowa

$t_1=3,62$ – ramka żółta

$t_2=10,10$ – ramka żółta

$p_0=0,01$ – ramka zielona

$p_1=0,00$ – ramka zielona

$R^2=0,93=93\%$ – ramka granatowa

$S_e=20,69$ – ramka fioletowa

W ramce niebieskiej oznaczono gwiazdki. Ich interpretacja jest następująca:

jeżeli wartość $p < 0,01$ , to pojawiają się 3 gwiazdki (***),
jeżeli wartość $p < 0,05$ , to pojawiają się 2 gwiazdki (**),
jeżeli wartość $p < 0,1$ , to pojawia się jedna gwiazdka (*),
jeżeli wartość $p \geq 0,1$ , to nie ma gwiazdek.

Gwiazdki umożliwiają szybkie testowanie istotność parametrów strukturalnych modelu.

Uwaga. Bardzo często wartość $p$ zapisywana jest w tzw. notacji naukowej np. $p=7,86e-06$ . Liczbę tę należy rozumieć jako $p=7,86\cdot 10^{-5}$ . Czyli $p=0,00000786$ . Po zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku $p=0,00$ .